I. На старом хостинге

1. Сделать копию файлов форума. Для этого зайти в панель управления хостингом, найти там файловый менеджер, запаковать все файлы форума в ZIP-архив и скачать его себе на компьютер. Можно скачать файлы и по FTP, но это долго.

2. Сделать копию базы данных. Для этого есть много способов:
-- лучше всего воспользоваться спец. инструментом. Для любых работ с базой данных я рекомендую Админер https://www.adminer.org Это PHP-файл, который нужно залить на хостинг (например, прямо в корневую папку форума), открыть в браузере: sitе.ru/аdminer-4.8.1.php и сделать экспорт базы данных. При экспорте выберите опции Output: gzip, Format: SQL и отметьте галочками ВСЕ таблицы и данные. Остальные опции оставьте по дефолту.
-- через Sypex Dumper https://sypex.net
-- через phpMyAdmin в панели хостинга
-- через админку форума: Обслуживание - Резервное копирование - выбрать все таблицы, тип файла gzip. Файл будет сохранён в папку store. Если у вас большая база, более 100 МБ, этот способ лучше не использовать, он может давать сбои.
Для надёжности лучше сделать две копии разными способами, напр. одну через админку форума, а другую через Adminer.

3. После этого рекомендую отключить форум, чтобы больше никто ничего не писал зря, т.к. новые сообщения уже не скопируются на новый хостинг: Админка - Настройки конференции - Отключить конференцию - вписать туда что-нибудь типа "Технические работы до 24:00".


II. На новом хостинге

4. Арендовать любой минимальный тариф с PHP и MySQL. Места на диске должно быть достаточно для ваших файлов с запасом (посмотрите полный размер резервной копии в распакованном виде и умножьте на 2). Необязательно сразу брать дорогой тариф - его можно сменить позже.

5. В панели управления хостингом:
- добавить новую БАЗУ ДАННЫХ MySQL. Скопировать себе её имя, логин и пароль
- добавить новый САЙТ. В настройках этого сайта поставить версию PHP не ниже 7.2, оптимально 7.4.
- прилинковать к САЙТУ ваш ДОМЕН
- включить SSL (HTTPS) для этого САЙТА/ДОМЕНА, если нужно
На разных хостингах всё это делается по-разному, панели у всех разные.

6. Залить файлы форума на хостинг в папку САЙТА. Заливать можно по FTP, но лучше через файловый менеджер в панели хостинга, в виде ZIP-архива, а потом распаковать. Распаковывать надо с таким расчётом, чтобы в итоге файлы index.php, viewtopic.php и т.д. оказались в корневой папке сайта. Обычно там по умолчанию уже лежит какой-нибудь технический index.html.

7. В папке САЙТА удалить всё содержимое папки cache.

8. В папке САЙТА открыть файл config.php и прописать туда имя, логин и пароль новой базы данных (параметры $dbname, $dbuser, $dbpasswd).

9. Развернуть (импортировать) базу данных из копии. Это тоже можно сделать несколькими способами:
- Adminer https://www.adminer.org
- Sypex Dumper https://sypex.net
- через phpMyAdmin в панели хостинга
Файл с копией базы надо предварительно залить в требуемую папку, напр. для Админера копия должна лежать рядом с самим Админером и иметь название adminer.sql (или adminer.sql.gz, если копия была сохранена как gzip-архив).

10. Теперь ваш форум развёрнут одновременно на двух хостингах: старом и новом. В браузере пока открывается его СТАРАЯ копия. Чтобы стала открываться НОВАЯ копия, вам нужно заняться ДОМЕНОМ.


III. Что делать с доменом

11. Если домен зарегистрирован отдельно от хостинга, у независимого регистратора (nic.ru, reg.ru), то всё очень просто: зайдите в свой аккаунт на nic.ru и пропишите своему домену новые NS-серверы. Адреса этих серверов возьмите в панели управления НОВОГО хостинга. После этого в браузере будет открываться уже не СТАРАЯ, а НОВАЯ копия форума. Но не сразу - обновление NS обычно занимает час-два, иногда несколько часов. Если вы всё делали по этой инструкции и отключили старый форум после создания резервной копии, вы поймаете момент обновления NS, когда увидите, что форум в браузере открылся без заглушки "Технические работы". Всё, теперь можно им пользоваться. Если процесс затянулся, попробуйте в командной строке компьютера команду ipconfig /flushdns, иногда это помогает.

12. Если же вы покупали домен у старого хостера, читайте его документацию - как перенести домен. Переносить лучше не к новому хостеру, а к независимому регистратору (nic.ru, reg.ru). Этот процесс может быть непрост. Но вы можете оставить это на потом, а пока продолжайте оплачивать старый хостинг, используя его как регистратор домена. В этом случае вам нужно снова зайти в панель СТАРОГО хостинга и изменить NS-записи вашего домена на те, которые вы скопировали с НОВОГО хостинга - см. пункт 11.